お酒おいしい

妻が北海道に行ってきたのでサッポロビールを買ってきてくれました。今おいしく飲んでいます。おいしいのでついつい飲み過ぎてしまいますね。 子供がいるのでいつ何があってもいいようお酒は控えていました。ですが今は安心してお酒を飲める状況にあるのでここぞとばかりに飲んでいます。幸せ。歳をとる毎にお酒が好きになっていく。 呑んだくれがお届けしました。

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人間社会と物理学のアナロジー

「出る杭は打たれる」という言葉があります。才能や手腕のある人物は他人から憎まれ虐げられることをいう慣用句（検索して出てきたものを引用）ですが、これは「他の杭が打たれている」からこそ起きることであって、ほとんどの杭が出ていれば逆に、「打たれた杭は抜かれる」はずです。これは平均水準の高い集団に属せば個々のレベルが全体に引き上げられることに対応しますね。いずれにしてもエントロピーの増大を感じる話です。 物理とのアナロジー関連で一つ。多電子系って人間の集団に似ていますよね。クーロンの反発力によってお互いを避けるように動いたり、同じ状態を二つ以上の電子が占有できなかったり等。多電子系の手法が社会学にも応用できたりしないのかなとよく思います。 本日はそんな取り止めのない話でした。

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タイトル獲ろう！！

さっそく毎日投稿が途絶えてショックです。詳細は書けませんが、ネット環境のせいで記事が投稿できませんでした。やっと復旧しましたよ。。 ところで、アルビレックス新潟のルヴァンカップ決勝進出が決定しましたね！（遅）11月2日、絶対にタイトルを獲りましょう！現地に参戦予定です。国立のチケットの抽選、当たるといいなぁ... それでは本日はこの辺で。

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急がば回れ？

現在、投稿予定の記事があります。その中でまとめると記事の構成が複雑になってしまうので、別個一つの記事としてまとめてしまおうということで投稿したのが先程投稿した記事です。肝心の数値計算の記事が全然投稿できていませんが、そのうち投稿しますので・・・。 ところで、先程の記事は大体1時間強で執筆しました。個人的にはもう少し速く書き上げたいところです。一番何に時間がかかっているかというと、数式の入力です。 当サイトはMathJaxというJavaScriptのライブラリを組み込んでLaTeX形式で数式を入力・表示できるようにしてあるのですが、通常のLaTeXと微妙に書き方が違う。そのせいでエラーが頻発し、その修正作業に多くの時間がかかっています。数式の記述がもっと効率よくできればスムーズに投稿ができるはず。記事の投稿よりもいい感じの数式作成ツールを作ることを優先した方がいいのかもしれません。明日さっそく作ってみようかな…。 それでは本日はこの辺で。

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【フーリエ変換】粒子数演算子の実空間→波数表示

概要 粒子数演算子について、実空間→波数表示するときのフーリエ変換の計算についてまとめます。尚、整理する表式に軌道自由度は考慮されていません。 各種演算子の定義 粒子の生成消滅演算子 サイト（単位胞） \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子に対する生成消滅演算子について、フーリエ変換を以下のように定義します。 $$ \begin{align} c_{i\sigma} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma} } \label{citock} \tag{1} \\ c_{i\sigma}^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} } \label{cdagitocdagk} \tag{2} \\ \end{align} $$ ここで \({\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}\) はサイト \(i\) に対する結晶の基本並進ベクトル、\({\boldsymbol{k}}\) は結晶運動量（波数ベクトル）、\(N\) はサイトの数です。 粒子数演算子 サイト \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子数演算子は以下のように与えられます。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} = c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \label{ni} \tag{3} \end{align} $$ これのフーリエ変換を以下のように定義します。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} = \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{q}} } { e^{i{\boldsymbol{q} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}}{\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nitonq} \tag{4} \end{align} $$ 計算の詳細 \eqref{ni}に\eqref{citock}\eqref{cdagitocdagk}を代入します。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} &= c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \\\\ &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k'}} } { e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } } \\\\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \label{fromhere} \tag{5} \end{align} $$ ここで波数ベクトルについて和を取る変数の変換 \({\boldsymbol{k'}} \rightarrow {\boldsymbol{k'}} + {\boldsymbol{q}}\)を行い、\({\boldsymbol{k'}}\) の代わりに全ての \({\boldsymbol{q}}\) について和を取るものとします。すると\eqref{fromhere}は、 $$ \begin{align} &\frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kq}} } { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{{\boldsymbol{q}}} { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}} \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } } \label{comparedwithnitonq} \tag{6} \end{align} $$ \eqref{comparedwithnitonq}と\eqref{nitonq}を比較して以下を得ます。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} = \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nq} \tag{7} \end{align} $$ まとめ 生成消滅演算子、粒子数演算子のフーリエ変換の定義に基づいて粒子数演算子の表式を導き、整理しました。

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