博士SEの研究ノート
物理 解析計算
today
2024-10-12 16:36:22
update
2024-10-12 16:51:22
pageview
532

【フーリエ変換】粒子数演算子の実空間→波数表示

  1. 概要
  2. 各種演算子の定義
    1. 粒子の生成消滅演算子
    2. 粒子数演算子
  3. 計算の詳細
  4. まとめ

概要

粒子数演算子について、実空間→波数表示するときのフーリエ変換の計算についてまとめます。尚、整理する表式に軌道自由度は考慮されていません。

各種演算子の定義

粒子の生成消滅演算子

サイト（単位胞） \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子に対する生成消滅演算子について、フーリエ変換を以下のように定義します。
$$
\begin{align}
c_{i\sigma} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma} } \label{citock} \tag{1} \\
c_{i\sigma}^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} } \label{cdagitocdagk} \tag{2} \\
\end{align}
$$
ここで \({\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}\) はサイト \(i\) に対する結晶の基本並進ベクトル、\({\boldsymbol{k}}\) は結晶運動量（波数ベクトル）、\(N\) はサイトの数です。

粒子数演算子

サイト \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子数演算子は以下のように与えられます。
$$
\begin{align}
{\hat{n}}_{i\sigma} = c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \label{ni} \tag{3}
\end{align}
$$
これのフーリエ変換を以下のように定義します。
$$
\begin{align}
{\hat{n}}_{i\sigma} = \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{q}} } { e^{i{\boldsymbol{q} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}}{\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nitonq} \tag{4}
\end{align}
$$

計算の詳細

\eqref{ni}に\eqref{citock}\eqref{cdagitocdagk}を代入します。

$$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} &= c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \\\\ &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k'}} } { e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } } \\\\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \label{fromhere} \tag{5} \end{align} $$

ここで波数ベクトルについて和を取る変数の変換 \({\boldsymbol{k'}} \rightarrow {\boldsymbol{k'}} + {\boldsymbol{q}}\)を行い、\({\boldsymbol{k'}}\) の代わりに全ての \({\boldsymbol{q}}\) について和を取るものとします。すると\eqref{fromhere}は、
$$
\begin{align}
&\frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \\
&= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kq}} } { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \\
&= \frac{1}{N} \sum\limits_{{\boldsymbol{q}}} { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}} \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } } \label{comparedwithnitonq} \tag{6}
\end{align}
$$
\eqref{comparedwithnitonq}と\eqref{nitonq}を比較して以下を得ます。
$$
\begin{align}
{\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} = \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nq} \tag{7}
\end{align}
$$

まとめ

生成消滅演算子、粒子数演算子のフーリエ変換の定義に基づいて粒子数演算子の表式を導き、整理しました。